Преобразования Лоренца дают нам возможность вычислять изменение координат события при переходе от одной системы отсчета к другой. Поставим теперь вопрос о том, как при изменении системы отсчета будет меняться скорость одного и того же тела?

В классической механике, как известно, скорость тела просто складывается со скоростью системы отсчета. Сейчас мы убедимся, что в теории относительности скорость преобразуется по более сложному закону.

Мы снова ограничимся рассмотрением одномерного случая. Пусть две системы отсчета S и S` «наблюдают» за движением некоторого тела, которое перемещается равномерно и прямолинейно параллельно осям х и х` обеих систем отсчета. Пусть скорость тела, измеренная системой отсчета S , есть и ; скорость того же тела, измеренную системой S`, обозначим через и` . Буквой v будем по-прежнему обозначать скорость системы S ` относительно S .

Допустим, что с нашим телом происходят два события, координаты которых в системе S суть x 1 ,t 1 , и х 2 , t 2 . Координаты тех же событий в системе S ` пусть будут х` 1 , t ` 1 ; x` 2 , t` 2 . Но скорость тела есть отнощение пройденного телом пути к соответствующему промежутку времени; поэтому, чтобы найти скорость тела в той и другой системах отсчета, нужно разность пространственных координат обоих событий разделить на разность временных координат

которую можно, как всегда, получить из релятивистской, если скорость света считать бесконечной. Ту же формулу можно записать в виде

Для небольших, «обычных» скоростей обе формулы— релятивистская и классическая — дают практически совпадающие результаты, в чем читатель при желании легко сможет убедиться. Но при скоростях, близких к скорости света, разница становится весьма ощутимой. Так, если v=150 000 км/сек , u`=200 000 км/ с ек, км/сек релятивистская формула дает u = 262 500 км/ с ек.

S со скоростью v = 150 000 км/сек. S ` дает результат u =200 000 км/сек. км/ с ек.


км/сек, а второго — 200 000 км/сек, км .

с. Не представляет никакого труда доказать это утверждение вполне строго. Действительно, легко проверить.

Для небольших, «обычных» скоростей обе формулы— релятивистская и классическая — дают практически совпадающие результаты, в чем читатель при желании легко сможет убедиться. Но при скоростях, близких к скорости света, разница становится весьма ощутимой. Так, если v=150 000 км/сек , u`=200 000 км/ с ек, то вместо классического результата u = 350 000 км/сек релятивистская формула дает u = 262 500 км/ с ек. Согласно смыслу формулы сложения скоростей, этот результат означает следующее.

Пусть система отсчета S` движется относительно системы отсчета S со скоростью v = 150 000 км/сек. Пусть в том же направлении движется тело, причем измерение его скорости системой отсчета S ` дает результат u` =200 000 км/сек. Если теперь измерить скорость того же тела с помощью системы отсчета S то получится u=262 500 км/ с ек.


Следует подчеркнуть, что полученная нами формула предназначена именно для пересчета величины скорости одного и того же тела от одной системы отсчета к другой, а отнюдь не для вычисления «скорости сближения» или «удаления» двух тел. Если мы из одной и той же системы отсчета наблюдаем два движущихся навстречу друг другу тела, причем скорость одного тела равна 150 000 км/сек, а второго — 200 000 км/сек, то расстояние между этими телами каждую секунду будет уменьшаться на 350 000 км . Теория относительности не упраздняет законов арифметики.

Читатель уже понял, конечно, что, применяя эту формулу к скоростям, не превосходящим скорость света, мы снова получим скорость, не превосходящую с. Не представляет никакого труда доказать это утверждение вполне строго. Действительно, легко проверить, что имеет место равенство

Так как и` ≤ с и v < c , то в правой части равенства числитель и знаменатель, а с ними и вся дробь, неотрицательны. Поэтому квадратная скобка меньше единицы, а потому и ≤ с .
Если и ` = с , то и и= с. Это есть не что иное, как закон постоянства скорости света. Не следует, конечно, рассматривать этот вывод как «доказательство» или хотя бы «подтверждение» постулата постоянства скорости света. Ведь мы с самого начала исходили из этого постулата и неудивительно, что пришли к результату, который ему не противоречит, в противном случае этот постулат был бы опровергнут путем доказательства от противного. Вместе с тем мы видим, что закон сложения скоростей эквивалентен постулату постоянства скорости света, каждое из этих двух утверждений логически вытекает из другого (и остальных постулатов теории относительности).

При выводе закона сложения скоростей мы предполагали, что скорость тела параллельна относительной скорости систем отсчета. Этого предположения можно было ие делать, но тогда наша формула относилась бы лишь к той компоненте скорости, которая направлена по оси x, и формулу следовало бы записать в виде

С помощью этих формул мы разберем явление аберрации (см. § 3). Ограничимся лишь простейшим случаем. Пусть некоторое светило в системе отсчета S неподвижно, пусть, далее, система отсчета S ` движется относительно системы S со скоростью v и пусть наблюдатель, движущийся вместе с S`, принимает лучи света от светила как раз в тот момент, когда оно находится у него точно над головой (рис. 21). Составляющие скорости этого луча в системе S будут
u x = 0, u y = 0, u x = -c.

Для системы отсчета S` наши формулы дают
u` x = -v, u` y = 0,
u` z = -c √ (1 - v 2 /c 2 )
Мы получим тангенс угла наклона луча к оси z`, если разделим и` х на и` z :
tg α = и` х / и` z = (v/c) / √(1 - v 2 /c 2)

Если скорость v не очень велика, то можно применить известную нам приближенную формулу, с помощью которой получаем
tg α = v/c + 1/2*v 2 /c 2 .
Первое слагаемое представляет собой хорошо известный классический результат; второе слагаемое есть релятивистская поправка.

Орбитальная скорость Земли равна примерно 30 км/сек, так что (v / c ) = 1 0 -4 . Для малых углов тангенс равен самому углу, измеренному в радианах; так как радиан содержит круглым счетом 200 000 угловых секунд, то получаем для угла аберрации:
α = 20°
Релятивистская поправка в 20 000 000 раз меньше и лежит далеко за пределами точности астрономических измерений. Вследствие аберрации звезды описывают ежегодно на небе эллипсы с большой полуосью в 20".

Когда мы смотрим на движущееся тело, мы видим его не там, где оно находится в данный момент, а там, где оно было несколько раньше, ибо свету нужно некоторое время, чтобы Дойти от тела до наших глаз. Это явление с точки зрения теории относительности эквивалентно аберрации и сводится к ней при переходе к той системе отсчета, в которой рассматриваемое тело неподвижно. На основании этого простого соображения мы можем получить формулу аберрации совершенно элементарным путем, не прибегая к релятивистскому закону сложения скоростей.

Пусть наше светило движется параллельно земной поверхности справа налево (рис. 22). Когда оно прибывает в точку А, наблюдатель, находящийся точно под ним в точке С, видит его еще в точке В. Если скорость светила равна v , а промежуток времени, в течение которого оно проходит отрезок А В , равен Δt , то

AB = Δt ,
BC = c Δt ,

sin α = AB/BC = v/c.

Но тогда, согласно формуле тригонометрии,

что и требовалось доказать. Заметим, что в классической кинематике эти две точки зрения не эквивалентны.

Интересен также следующий вопрос. Как известно, в классической кинематике скорости складываются по правилу параллелограмма. Мы заменили этот закон другим, более сложным. Значит ли это, что в теории относительности скорость уже не есть вектор?

Во-первых, то обстоятельство, что u ≠ u `+ v (жирными буквами мы обозначаем векторы), само по себе не дает еще оснований отрицать векторную природу скорости. Из двух данных векторов третий вектор можно получить не только путем их сложения, а, например, путем векторного умножения, и вообще бесчисленным множеством способов. Ниоткуда не следует, что при перемене системы отсчета векторы и` и v обязаны именно складываться. И действительно, существует формула, выражающая и через и` и v с помощью операций векторного исчисления:

В связи с этим следует признать, что название «закон сложения скоростей» не совсем удачно; правильнее говорить, как это и делают некоторые авторы, не о сложении, а о преобразовании скорости при перемене системы отсчета.

Во-вторых, и в теории относительности можно указать случаи, когда скорости складываются по-прежнему векторно. Пусть, например, тело двигалось в течение некоторого промежутка времени Δt со скоростью u 1 , а затем — такой же отрезок времени со скоростью u 2 . Это сложное движение можно заменить движением с постоянной скоростью u = u 1 + u 2 . Здесь скорости u 1 и u 2 складываются, как векторы, по правилу параллелограмма; теория относительности не вносит здесь никаких изменений.
Следует вообще заметить, что большинство «парадоксов» теории относительности связано так или иначе с изменением системы отсчета. Если рассматривать явления в одной и той же системе отсчета, то вносимые теорией относительности изменения в их закономерности далеко не столь кардинальны, как часто думают.

Отметим еще, что естественным обобщением обычных трехмерных векторов в теории относительности являются векторы четырехмерные; при перемене системы отсчета они преобразуются по формулам Лоренца. Кроме трех пространственных компонент, они имеют компоненту временную. В частности, можно рассматривать четырехмерный вектор скорости. Пространственная «часть» этого вектора, однако, не совпадает с обычной трехмерной скоростью, и вообще четырехмерная скорость по своим свойствам заметно отличается от трехмерной. В частности, сумма двух четырехмерных скоростей не будет уже, вообще говоря, скоростью.

1.4. Относительность движения

1.4.1. Закон сложения перемещений и закон сложения скоростей

Механическое движение одного и того же тела выглядит по-разному для разных систем отсчета.

Для определенности будем использовать две системы отсчета (рис. 1.33):

• K - неподвижную систему отсчета;
• K ′ - подвижную систему отсчета.

Рис. 1.33

Система K ′ движется относительно системы отсчета K в положительном направлении оси Ox со скоростью u → .

Пусть в системе отсчета K материальная точка (тело) движется со скоростью v → и за интервал времени ∆t совершает перемещение Δ r → . Относительно системы отсчета K ′ эта материальная точка имеет скорость v → ′ и за указанный интервал времени ∆t совершает перемещение Δ r ′ → .

Закон сложения перемещений

Перемещения материальной точки в неподвижной (K ) и движущейся (K ′) системах отсчета (Δ r → и Δ r ′ → соответственно) различаются между собой и связаны законом сложения перемещений :

Δ r → = Δ r ′ → + u → Δ t ,

где Δ r → - перемещение материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в неподвижной системе отсчета K ; Δ r ′ → - перемещение материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в движущейся системе отсчета K ′; u → - скорость системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K .

Закону сложения перемещений соответствует «треугольник перемещений » (рис. 1.34).

Закон сложения перемещений при решении задач иногда целесообразно записывать в координатной форме :

Δ x = Δ x ′ + u x Δ t , Δ y = Δ y ′ + u y Δ t , }

где ∆x и ∆y - изменение координат x и y материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в системе отсчета K ; ∆x ′ и ∆y ′ - изменение соответствующих координат материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в системе отсчета K ′; u x и u y - проекции скорости u → системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K , на координатные оси.

Закон сложения скоростей

Скорости материальной точки в неподвижной (K ) и движущейся (K ′) системах отсчета (v → и v → ′ соответственно) также различаются между собой и связаны законом сложения скоростей :

v → = v → ′ + u → ,

где u → - скорость системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K .

Закону сложения скоростей соответствует «треугольник скоростей » (рис. 1.35).

Рис. 1.35

Закон сложения скоростей при решении задач иногда целесообразно записывать в проекциях на координатные оси :

v x = v ′ x + u x , v y = v ′ y + u y , }

Относительная скорость движения двух тел

Для определения относительной скорости движения двух тел удобно пользоваться следующим алгоритмом:

4) векторы v → , v → ′ и u → изобразить в системе координат xOy ;

5) записать закон сложения скоростей в виде

v → = v → ′ + u → или v x = v ′ x + u x , v y = v ′ y + u y ; }

6) выразить v → ′:

v → ′ = v → − u →

или v ′ x и v ′ y:

v ′ x = v x − u x , v ′ y = v y − u y ; }

7) найти модуль вектора относительной скорости v → ′ по формуле

v ′ = v ′ x 2 + v ′ y 2 ,

где v x и v y - проекции вектора скорости v → материальной точки (тела) в системе отсчета K на координатные оси; v ′ x и v ′ y - проекции вектора скорости v → ′ материальной точки (тела) в системе отсчета K ′ на координатные оси; u x и u y - проекции скорости u → системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K , на координатные оси.

Для определения относительной скорости движения двух тел, движущихся вдоль одной координатной оси , удобно пользоваться следующим алгоритмом:

1) выяснить, какое из тел считается системой отсчета; скорость этого тела обозначить как u → ;

2) скорость второго тела обозначить как v → ;

3) относительную скорость тел обозначить как v → ′ ;

4) векторы v → , v → ′ и u → изобразить на координатной оси Ox ;

5) записать закон сложения скоростей в виде:

v x = v ′ x + u x ;

6) выразить v ′ x:

v ′ x = v x − u x ;

7) найти модуль вектора относительной скорости v ′ → по формуле

v ′ = | v ′ x | ,

где v x и v y - проекции вектора скорости v → материальной точки (тела) в системе отсчета K на координатные оси; v ′ x и v ′ y - проекции вектора скорости v → ′ материальной точки (тела) в системе отсчета K ′ на координатные оси; u x и u y - проекции скорости u → системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K , на координатные оси.

Пример 26. Первое тело движется со скоростью 6,0 м/с в положительном направлении оси Ox , а второе - со скоростью 8,0 м/с в ее отрицательном направлении. Определить модуль скорости первого тела в системе отсчета, связанной со вторым телом.

Решение. Подвижной системой отсчета является второе тело; проекция скорости u → подвижной системы отсчета на ось Ox равна:

u x = −8,0 м/с,

так как движение второго тела происходит в отрицательном направлении указанной оси.

Первое тело относительно неподвижной системы отсчета имеет скорость v → ; ее проекция на ось Ox равна:

v x = 6,0 м/с,

так как движение первого тела происходит в положительном направлении указанной оси.

Закон сложения скоростей для решения данной задачи целесообразно записать в проекции на координатную ось, т.е. в следующем виде:

v x = v ′ x + u x ,

где v ′ x - проекция скорости первого тела относительно подвижной системы отсчета (второго тела).

Величина v ′ x является искомой; ее значение определяется формулой

v ′ x = v x − u x .

Произведем вычисление:

v ′ x = 6,0 − (− 8,0) = 14 м/с.

Пример 29. Спортсмены бегут друг за другом цепочкой длиной 46 м с одинаковой скоростью. Навстречу им бежит тренер со скоростью, втрое меньшей скорости спортсменов. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, поворачивает и бежит назад с прежней скоростью. Какова станет длина цепочки, когда все спортсмены будут бежать в обратном направлении?

Решение. Пусть движение спортсменов и тренера происходит вдоль оси Ox , начало которой совпадает с положением последнего спортсмена. Тогда уравнения движения относительно Земли имеют следующий вид:

• последнего спортсмена -

  x 1 (t ) = vt ;

• тренера -

  x 2 (t) = L − 1 3 v t ;

• первого спортсмена -

  x 3 (t ) = L − vt ,

  где v - модуль скорости каждого спортсмена; 1 3 v - модуль скорости тренера; L - первоначальная длина цепочки; t - время.

Свяжем подвижную систему отсчета с тренером.

Уравнение движения последнего спортсмена относительно подвижной системы отсчета (тренера) обозначим x ′(t ) и найдем из закона сложения перемещений, записанного в координатной форме:

x (t ) = x ′(t ) + X (t ), т.е. x ′(t ) = x (t ) − X (t ),

X (t) = x 2 (t) = L − 1 3 v t -

уравнение движения тренера (подвижной системы отсчета) относительно Земли;

x (t ) = x 1 (t ) = vt ;

уравнение движения последнего спортсмена относительно Земли.

Подстановка выражений x (t ), X (t ) в записанное уравнение дает:

x ′ (t) = x 1 (t) − x 2 (t) = v t − (L − 1 3 v t) = 4 3 v t − L .

Данное уравнение представляет собой уравнение движения последнего спортсмена относительно тренера. В момент встречи последнего спортсмена и тренера (t = t 0) их относительная координата x ′(t 0) обращается в ноль:

4 3 v t 0 − L = 0 .

Уравнение позволяет найти указанный момент времени:

В этот момент времени все спортсмены начинают бежать в противоположном направлении. Длина цепочки спортсменов определяется разностью координат первого x 3 (t 0) и последнего x 1 (t 0) спортсмена в указанный момент времени:

l = | x 3 (t 0) − x 1 (t 0) | ,

или в явном виде:

l = | (L − v t 0) − v t 0 | = | L − 2 v t 0 | = | L − 2 v 3 L 4 v | = 0,5 L = 0,5 ⋅ 46 = 23 м.

Давайте в нескольких статьях рассмотрим подробно и внимательно закон сложения скоростей и решения задач, с использованием этого закона.

Для начала, вспомним, что часто мы наблюдаем довольно сложные типы движения, когда тело движется относительно системы отсчёта, которая в тоже время движется относительно Земли. И первая трудность здесь заключается в выборе подвижной и неподвижной систем отсчёта. Сегодня мы это и разберём. Если брать за неподвижную систему отсчета дерево, растущее на Земле (а чаще всего именно землю берут за неподвижную систему отсчёта), то довольно легко ввести другие системы отсчёта.

Попытаемся это сделать на следующих примерах:

1. Пассажир движется в движущемся автобусе (или по движущемуся эскалатору).

Здесь неподвижная система отсчета – Дерево , а подвижная система отсчета – автобус (эскалатор). И тогда

• скорость пассажира относительно автобуса (эскалатора) – скорость пассажира (Т ела) О тносительно П одвижной системы отсчета (автобуса; эскалатора) (ϑ ТоП),
• скорость пассажира относительно Земли (дерева) – скорость пассажира (Т ела) О З емли) (ϑ ТоЗ),
• скорость автобуса (эскалатора) – скорость П одвижной системы отсчета (автобуса; эскалатора) О тносительно неподвижной (З емли) (ϑ ПоЗ).

2. Легковая машина и грузовик движутся по шоссе (даже не важно, в каком направлении).

В качестве неподвижной системы отсчета оставляем дерево, растущее на Земле, за подвижную систему отсчета возьмём грузовую машину. Тогда,

• скорость легковой машины относительно грузовой – скорость легковой машины (Т ела) О тносительно П одвижной системы отсчета (грузовой машины) (ϑ ТоП),
• скорость легковой машины относительно Земли (Дерева) – скорость легковой машины (Т ела) О тносительно неподвижной системы отсчета (З емли) (ϑ ТоЗ). Эту скорость показывает спидометр – прибор, для измерения скорости, который есть в каждой машине.
• с корость грузовой машины – скорость П одвижной системы отсчета (грузовой машины) О тносительно неподвижной (З емли) (ϑ ПоЗ). Эту скорость показывает спидометр грузового автомобиля.

3. Лодка движется по реке.

Опять, в качестве неподвижной системы отсчета дерево , растущее на Земле. За неподвижную систему отсчета возьмём течение реки (чтобы это течение визуализировать, представьте опавший лист на поверхности воды). Тогда,

• скорость лодки относительно листка – скорость лодки (Т ела) О тносительно П одвижной системы отсчета (течения реки) (ϑ ТоП), т.е скорость лодки в стоячей воде ,
• скорость лодки относительно Земли (дерева) – скорость лодки (Т ела) О тносительно неподвижной системы отсчета (З емли) (ϑ ТоЗ),
• скорость течения (листка) – скорость П одвижной системы отсчета (течения реки) О тносительно неподвижной (З емли) (ϑ ПоЗ).

4. Падает капля дождя.

Опять, в качестве неподвижной системы отсчета дерево, растущее на Земле, подвижной системы отсчета – ветер (чтобы это визуализировать, представьте летящий оторвавшийся листок). Тогда,

• скорость капли относительно ветра – скорость капли (Т ела) О тносительно П одвижной системы отсчета (ветра) (ϑ ТоП),
• скорость капли относительно Земли (дерева) – скорость капли (Т ела) О тносительно неподвижной системы отсчета (З емли) (ϑ ТоЗ),
• скорость ветра – скорость П одвижной системы отсчета (ветра) О тносительно неподвижной (З емли) (ϑ ПоЗ).

Разобравшись, с выбором систем отсчёта, введём и выучим закон сложения скоростей:

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (ϑ ТоЗ ) равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета (ϑ ТоП ) и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной (ϑ ПоЗ ).

При решении задач исходное выражение всегда будет в таком векторном виде. А вот как решать, приведённые выше задачи, это мы обсудим в следующих статьях.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на закон сложения скоростей?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Выведем закон, связывающий проекции скорости частицы в ИСО К и К".

На основании преобразований Лоренца (1.3.12) для бесконечно малых приращений координат частицы и времени можно написать

Разделив в (1.6.1) первые три равенства на четвёртое, а затем числители и знаменатели правых частей получившихся соотношений на dt" и учтя, что

есть проекции скоростей частицы на оси СО К и К", приходим к искомому закону:

Если частица совершает одномерное движение вдоль осей ОХ и О"Х", то, в соответствии с (1.6.2),

Пример 1. ИСО К" движется со скоростью V относительно ИСО К. Под углом 0" к направлению движения в ИСО К" выпущена пуля со скоростью v". Чему равен этот угол 0 в ИСО К?

Решение. При движении происходит не только сокращение пространственных, но и растяжение временных интервалов. Для нахождения tg0 = v y /v x следует в (1.6.2) разделить вторую формулу на первую, а затем числитель и знаменатель получившейся справа дроби - на v" x = v"cos0" Учитывая, что v" y /v" x = tg0", находим

Для малых по сравнению со скоростью света скоростей формулы (1.6.2) переходят в известный закон классической механики (1.1.4):

Из формул преобразования проекций скорости частицы (1.6.2) нетрудно определить модуль скорости и её направление в ИСО К через скорость частицы в ИСО К". Для этого выберем оси координат так, чтобы скорость частицы в данный момент лежала в плоскости XOY (а, значит, и в плоскости Х"0"Y"), и обозначим через 0 (0") угол между

V (V") и осью ОХ (О"Х"). Тогда

v x = vcos0, v = vsin0, v" x = v"cos©", v* = v"sin©", v z = v" z = 0 (1.6.4) или

Что касается направления скорости частицы в СО К (угол 0), то оно определяется путём почленного деления в (1.6.5) второй формулы на первую:

и подстановка (1.6.4) в (1.6.2) даёт

После возведения в квадрат обоих равенств (1.6.5) и их сложения, получим

Формулы обратного преобразования получаются при замене штрихованных величин на не штрихованные и обратно и заменой V на - V.

Задача 2. Определить относительную скорость v 0TH сближения двух космических аппаратов 1 и 2, движущихся навстречу друг другу со скоростями Х И V2-

Решение. Свяжем подвижную СО К" с космическим аппаратом 1. Тогда V = Vi, а искомой относительной скоростью v 0TH будет являться скорость аппарата 2 в этой СО. Применяя релятивистский закон сложения скоростей (1.6.3) ко второму аппарату с учётом направления его скорости (v" 2 = -v 0TH) имеем

Численные оценки для v, = v 2 = 0,9 с дают

Задача 3. Тело со скоростью v 0 налетает перпендикулярно на стенку, движущуюся ему навстречу со скоростью. Пользуясь релятивистским законом сложения скоростей, найти скорость v 0Tp тела после отскока. Удар абсолютно упругий, масса стенки намного больше массы тела. Найти v 0Tp , если v 0 = v = с/3 . Проанализировать предельные случаи.

где V - скорость СО К" относительно СО К. Свяжем СО К" со стенкой. Тогда V = -v ив этой СО начальная скорость тела, согласно выражению для v",

Вернёмся теперь назад в лабораторную СО К. Подставляя в

(1.6.3) v" 0Tp вместо v" и учитывая опять же, что V = -v, после несложных преобразований получаем искомый результат:

Проанализируем теперь предельные случаи.

Если скорости тела и стенки малы (v 0 « с, v « с), то можно пренебречь всеми членами, где эти скорости и их произведение делятся на скорость света. Тогда из полученной выше общей формулы приходим к известному результату классической механики: v 0Tp = -(v 0 + 2v) -

скорость тела после отскока увеличивается на удвоенную скорость стенки; направлена она, естественно, противоположно начальной. Ясно, что в релятивистском случае этот результат неверен. В частности, при v 0 =v = c/3 из него следует, что скорость тела после отскока будет равна - с, чего быть не может.

Пусть теперь на стенку налетает тело, движущееся со скоростью света (например, лазерный луч отражается от движущегося зеркала). Подставляя v 0 = с в общее выражение для v , получаем v = -с.

Это означает, что скорость лазерного луча изменила направление, но не свою абсолютную величину, - в полном согласии с принципом инвариантности скорости света в вакууме.

Рассмотрим теперь случай, когда стенка движется с релятивистской скоростью v -> с. В этом случае

Тело после отскока также будет двигаться со скоростью, близкой к скорости света.

• Наконец, подставим в общую формулу для v 0Tp значения

v n = v = с/3 . Тогда = -с * -0,78 с. В отличие от классической

механики, теория относительности даёт для скорости после отскока значение, меньшее скорости света.

В заключение посмотрим, что случится, если стенка удаляется от тела с той же скоростью v = -v 0 . В этом случае общая формула для v 0Tp приводит к результату: v = v 0 . Как и в классической механике, тело стенку не догонит и, следовательно, его скорость не изменится.

Результаты опыта описывались формулами

где п - показатель преломления воды, а V - скорость её течения.

До создания СТО результаты опыта Физо рассматривались на основе выдвинутой ещё О. Френелем гипотезы, в рамках которой следовало считать, что движущаяся вода частично увлекает за собой «мировой эфир». Величина

получила название коэффициента увлечения эфира, а формулы (1.7.1) и (1.7.2) при таком подходе непосредственно вытекают из классического закона сложения скоростей: с/п - скорость света в воде относительно эфира, kV - скорость эфира относительно опытной установки.

А эта система отсчёта в свою очередь движется относительно другой системы) возникает вопрос о связи скоростей в двух системах отсчёта.

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

Сложение скоростей (кинематика) ➽ Физика 10 класс ➽ Видеоурок

Урок 19. Относительность движения. Формула сложения скоростей.

Физика. Урок № 1. Кинематика. Закон сложения скоростей

Субтитры

Классическая механика

V → a = v → r + v → e . {\displaystyle {\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{r}+{\vec {v}}_{e}.}

Данное равенство представляет собой содержание утверждения теоремы о сложении скоростей .

Простым языком: Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости (относительно неподвижной системы) той точки подвижной системы отсчёта, в которой в данный момент времени находится тело.

Примеры

1. Абсолютная скорость мухи, ползущей по радиусу вращающейся граммофонной пластинки, равна сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, которую имеет точка пластинки под мухой относительно земли (то есть с которой её переносит пластинка за счёт своего вращения).
2. Если человек идёт по коридору вагона со скоростью 5 километров в час относительно вагона, а вагон движется со скоростью 50 километров в час относительно Земли, то человек движется относительно Земли со скоростью 50 + 5 = 55 километров в час, когда идёт по направлению движения поезда, и со скоростью 50 - 5 = 45 километров в час, когда он идёт в обратном направлении. Если человек в коридоре вагона движется относительно Земли со скоростью 55 километров в час, а поезд со скоростью 50 километров в час, то скорость человека относительно поезда 55 - 50 = 5 километров в час.
3. Если волны движутся относительно берега со скоростью 30 километров в час, и корабль также со скоростью 30 километров в час, то волны движутся относительно корабля со скоростью 30 - 30 = 0 километров в час, то есть относительно корабля они становятся неподвижными.

Релятивистская механика

В XIX веке классическая механика столкнулась с проблемой распространения этого правила сложения скоростей на оптические (электромагнитные) процессы. По существу произошёл конфликт между двумя идеями классической механики, перенесёнными в новую область электромагнитных процессов.

Например, если рассмотреть пример с волнами на поверхности воды из предыдущего раздела и попробовать обобщить на электромагнитные волны, то получится противоречие с наблюдениями (см., например, опыт Майкельсона).

Классическое правило сложения скоростей соответствует преобразованию координат от одной системы осей к другой системе, движущиеся относительно первой без ускорения. Если при таком преобразовании мы сохраняем понятие одновременности, то есть сможем считать одновременными два события не только при их регистрации в одной системе координат, но и во всякой другой инерциальной системе , то преобразования называются галилеевыми . Кроме того, при галилеевых преобразованиях пространственное расстояние между двумя точками - разница между их координатами в одной инерциальной системе отсчёта - всегда равно их расстоянию в другой инерциальной системе.

Вторая идея - принцип относительности . Находясь на корабле, движущимся равномерно и прямолинейно , нельзя обнаружить его движение какими-то внутренними механическими эффектами. Распространяется ли этот принцип на оптические эффекты? Нельзя ли обнаружить абсолютное движение системы по вызванным этим движением оптическим или, что то же самое электродинамическими эффектами? Интуиция (довольно явным образом связанная с классическим принципом относительности) говорит, что абсолютное движение нельзя обнаружить какими бы то ни было наблюдениями. Но если свет распространяется с определённой скоростью относительно каждой из движущихся инерциальных систем, то эта скорость изменится при переходе от одной системы к другой. Это вытекает из классического правила сложения скоростей. Говоря математическим языком, величина скорости света не будет инвариантна относительно галлилеевых преобразованиям. Это нарушает принцип относительности, вернее, не позволяет распространить принцип относительности на оптические процессы. Таким образом электродинамика разрушила связь двух, казалось бы, очевидных положений классической физики - правила сложения скоростей и принципа относительности. Более того, эти два положения применительно к электродинамике оказались несовместимыми.

Теория относительности даёт ответ на этот вопрос. Она расширяет понятие принципа относительности, распространяя его и на оптические процессы. Правило сложения скоростей при этом не отменяется совсем, а лишь уточняется для больших скоростей с помощью преобразования Лоренца:

v r e l = v 1 + v 2 1 + v 1 v 2 c 2 . {\displaystyle v_{rel}={\frac {{v}_{1}+{v}_{2}}{1+{\dfrac {{v}_{1}{v}_{2}}{c^{2}}}}}.}

Можно заметить, что в случае, когда v / c → 0 {\displaystyle v/c\rightarrow 0} , преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея . Это говорит о том, что специальная теория относительности сводится к механике Ньютона при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Это объясняет, каким образом соотносятся эти две теории - первая является обобщением второй.

Похожие статьи