Приводится доказательство формулы производной сложной функции. Подробно рассмотрены случаи, когда сложная функция зависит от одной и двух переменных. Производится обобщение на случай произвольного числа переменных.
СодержаниеСм. также: Примеры применения формулы производной сложной функции
Основные формулы
Здесь мы приводим вывод следующих формул для производной сложной функции.
Если ,
то
.
Если ,
то
.
Если ,
то
.
Производная сложной функции от одной переменной
Пусть функцию от переменной x
можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
где и есть некоторые функции. Функция дифференцируема при некотором значении переменной x
.
Функция дифференцируема при значении переменной .
Тогда сложная (составная) функция дифференцируема в точке x
и ее производная определяется по формуле:
(1)
.
Формулу (1) также можно записать так:
;
.
Доказательство
Введем следующие обозначения.
;
.
Здесь есть функция от переменных и ,
есть функция от переменных и .
Но мы будем опускать аргументы этих функций, чтобы не загромождать выкладки.
Поскольку функции и дифференцируемы в точках x
и ,
соответственно, то в этих точках существуют производные этих функций, которые являются следующими пределами:
;
.
Рассмотрим следующую функцию:
.
При фиксированном значении переменной u
,
является функцией от .
Очевидно, что
.
Тогда
.
Поскольку функция является дифференцируемой функцией в точке ,
то она непрерывна в этой точке. Поэтому
.
Тогда
.
Теперь находим производную.
.
Формула доказана.
Следствие
Если функцию от переменной x
можно представить как сложную функцию от сложной функции
,
то ее производная определяется по формуле
.
Здесь ,
и есть некоторые дифференцируемые функции.
Чтобы доказать эту формулу, мы последовательно вычисляем производную по правилу дифференцирования сложной функции.
Рассмотрим сложную функцию
.
Ее производная
.
Рассмотрим исходную функцию
.
Ее производная
.
Производная сложной функции от двух переменных
Теперь пусть сложная функция зависит от нескольких переменных. Вначале рассмотрим случай сложной функции от двух переменных .
Пусть функцию ,
зависящую от переменной x
,
можно представить как сложную функцию от двух переменных в следующем виде:
,
где
и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x
;
- функция от двух переменных, дифференцируемая в точке ,
.
Тогда сложная функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в производную, которая определяется по формуле:
(2)
.
Доказательство
Поскольку функции и дифференцируемы в точке ,
то они определены в некоторой окрестности этой точки, непрерывны в точке и существуют их производные в точке ,
которые являются следующими пределами:
;
.
Здесь
;
.
В силу непрерывности этих функций в точке имеем:
;
.
Поскольку функция дифференцируема в точке ,
то она определена в некоторой окрестности этой точки, непрерывна в этой точке и ее приращение можно записать в следующем виде:
(3)
.
Здесь
- приращение функции при приращении ее аргументов на величины и ;
;
- частные производные функции по переменным и .
При фиксированных значениях и ,
и есть функции от переменных и .
Они стремятся к нулю при и :
;
.
Поскольку и ,
то
;
.
Приращение функции :
.
:
.
Подставим (3):
.
Формула доказана.
Производная сложной функции от нескольких переменных
Приведенный выше вывод легко обобщается на случай, когда число переменных сложной функции больше двух.
Например, если f
является функцией от трех переменных
, то
,
где
,
и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x
;
- дифференцируемая функция, от трех переменных, в точке ,
,
.
Тогда, из определения дифференцируемости функции ,
имеем:
(4)
.
Поскольку, в силу непрерывности,
;
;
,
то
;
;
.
Разделив (4) на и выполнив предельный переход ,
получим:
.
И, наконец, рассмотрим самый общий случай
.
Пусть функцию от переменной x
можно представить как сложную функцию от n переменных в следующем виде:
,
где
есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x
;
- дифференцируемая функция от n
переменных в точке
,
,
... , .
Тогда
.
Приводятся примеры вычисления производных с применением формулы производной сложной функции.
СодержаниеСм. также: Доказательство формулы производной сложной функции
Основные формулы
Здесь мы приводим примеры вычисления производных от следующих функций:
;
;
;
;
.
Если функцию можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
то ее производная определяется по формуле:
.
В приводимых ниже примерах, мы будем записывать эту формулу в следующем виде:
.
где .
Здесь нижние индексы или ,
расположенные под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование.
Обычно, в таблицах производных , приводятся производные функций от переменной x . Однако x - это формальный параметр. Переменную x можно заменить любой другой переменной. Поэтому, при дифференцировании функции от переменной , мы просто меняем, в таблице производных, переменную x на переменную u .
Простые примеры
Пример 1
Найти производную сложной функции
.
Запишем заданную функцию в эквивалентном виде:
.
В таблице производных находим:
;
.
По формуле производной сложной функции имеем:
.
Здесь .
Пример 2
Найти производную
.
Выносим постоянную 5 за знак производной и из таблицы производных находим:
.
.
Здесь .
Пример 3
Найдите производную
.
Выносим постоянную -1
за знак производной и из таблицы производных находим:
;
Из таблицы производных находим:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .
Более сложные примеры
В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных . Также мы применяем правила дифференцирования суммы , произведения и дроби . Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.
Пример 4
Найдите производную
.
Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. .
.
Здесь мы использовали обозначение
.
Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:
.
Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Здесь .
Пример 5
Найдите производную функции
.
Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. .
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Здесь
.
Дифференцируем следующую часть, применяя полученные результаты.
.
Здесь
.
Дифференцируем следующую часть.
.
Здесь
.
Теперь находим производную искомой функции.
.
Здесь
.
На котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.
На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.
Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:
Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.
Функцию я буду называть внешней функцией , а функцию – внутренней (или вложенной) функцией .
! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.
Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:
Пример 1
Найти производную функции
Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:
В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.
Первый шаг , который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней .
В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.
Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).
Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь
нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :
Во вторую очередь
нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:
После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ
с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .
Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:
Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением , в данном случае:
Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем .
Ну и совершенно очевидно, что
Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:
Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.
Пример 2
Найти производную функции
Пример 3
Найти производную функции
Как всегда записываем:
Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:
И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:
Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения
. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:
Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:
Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:
Пример 4
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?
Пример 5
а) Найти производную функции
б) Найти производную функции
Пример 6
Найти производную функции
Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:
Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :
Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:
Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).
Пример 7
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:
Пример 8
Найти производную функции
Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:
Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:
Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :
Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:
Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.
Пример 9
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.
Пример 10
Найти производную функции
Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?
Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:
Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :
И, наконец, семерку возводим в степень :
То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.
Начинаем решать
Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий.
Если g (x ) и f (u ) – дифференцируемые функции своих аргументов соответственно в точках x и u = g (x ), то сложная функция также дифференцируема в точке x и находится по формуле
Типичная ошибка при решении задач на производные - машинальное перенесение правил дифференцирования простых функций на сложные функции. Будем учиться избегать этой ошибки.
Пример 2. Найти производную функции
Неправильное решение: вычислять натуральный логарифм каждого слагаемого в скобках и искать сумму производных:
Правильное решение: опять определяем, где "яблоко", а где "фарш". Здесь натуральный логарифм от выражения в скобках - это "яблоко", то есть функция по промежуточному аргументу u , а выражение в скобках - "фарш", то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x .
Тогда (применяя формулу 14 из таблицы производных)
Во многих реальных задачах выражение с логарифмом бывает несколько сложнее, поэтому и есть урок
Пример 3. Найти производную функции
Неправильное решение:
Правильное решение. В очередной раз определяем, где "яблоко", а где "фарш". Здесь косинус от выражения в скобках (формула 7 в таблице производных)- это "яблоко", оно готовится в режиме 1, воздействующем только на него, а выражение в скобках (производная степени - номер 3 в таблице производных) - это "фарш", он готовится при режиме 2, воздействующей только на него. И как всегда соединяем две производные знаком произведения. Результат:
Производная сложной логарифмической функции - частое задание на контрольных работах, поэтому настоятельно рекомендуем посетить урок "Производная логарифмической функции".
Первые примеры были на сложные функции, в которых промежуточный аргумент по независимой переменной был простой функцией. Но в практических заданиях нередко требуется найти производную сложной функции, где промежуточный аргумент или сам является сложной функцией или содержит такую функцию. Что делать в таких случаях? Находить производные таких функций по таблицам и правилам дифференцирования . Когда найдена производная промежуточного аргумента, она просто подставляется в нужное место формулы. Ниже – два примера, как это делается.
Кроме того, полезно знать следующее. Если сложная функция может быть представлена в виде цепочки из трёх функций
то её производную следует находить как произведение производных каждой из этих функций:
Для решения многих ваших домашних заданий может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .
Пример 4. Найти производную функции
Применяем правило дифференцирования сложной функции, не забывая, что в полученном произведении производных промежуточный аргумент по независимой переменной x не меняется:
Готовим второй сомножитель произведения и применяем правило дифференцирования суммы:
Второе слагаемое - корень, поэтому
Таким образом получили, что промежуточный аргумент, являющийся суммой, в качестве одного из слагаемых содержит сложную функцию: возведение в степень - сложная функция, а то, что возводится в степень - промежуточный аргумент по независимой переменной x .
Поэтому вновь применим правило дифференцирования сложной функции:
Степень первого сомножителя преобразуем в корень, а дифференцируя второй сомножитель, не забываем, что производная константы равна нулю:
Теперь можем найти производную промежуточного аргумента, нужного для вычисления требуемой в условии задачи производной сложной функции y :
Пример 5. Найти производную функции
Сначала воспользуемся правилом дифференцирования суммы:
Получили сумму производных двух сложных функций. Находим первую из них:
Здесь возведение синуса в степень - сложная функция, а сам синус - промежуточный аргумент по независимой переменной x . Поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, попутно вынося множитель за скобки :
Теперь находим второе слагаемое из образующих производную функции y :
Здесь возведение косинуса в степень - сложная функция f , а сам косинус - промежуточный аргумент по независимой переменной x . Снова воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:
Результат - требуемая производная:
Таблица производных некоторых сложных функций
Для сложных функций на основании правила дифференцирования сложной функции формула производной простой функции принимает другой вид.
1. Производная сложной степенной функции, где u x | |
2. Производная корня от выражения | |
3. Производная показательной функции | |
4. Частный случай показательной функции | |
5. Производная логарифмической функции с произвольным положительным основанием а | |
6. Производная сложной логарифмической функции, где u – дифференцируемая функция аргумента x | |
7. Производная синуса | |
8. Производная косинуса | |
9. Производная тангенса | |
10. Производная котангенса | |
11. Производная арксинуса | |
12. Производная арккосинуса | |
13. Производная арктангенса | |
14. Производная арккотангенса |
Данный урок посвящён теме «Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике». На этом уроке изучается дифференцирование сложных функций. Составляется таблица производных сложной функции. Кроме того, рассматривается пример решения задачи из практики подготовки к ЕГЭ по математике.
Тема: Производная
Урок: Дифференцирование сложной функции. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике
Сложную функцию мы уже дифференцировали, но аргументом служила линейная функция, а именно, умеем дифференцировать функцию . Например, . Сейчас таким же образом будем находить производные от сложной функции, где вместо линейной функции может быть другая функция.
Начнем с функции
Итак, нашли производную синуса от сложной функции, где аргументом синуса была квадратичная функция.
Если надо будет найти значение производной в конкретной точке, то эту точку нужно подставить в найденную производную.
Итак, на двух примерах увидели, как работает правило дифференцирования сложной функции .
2.
3. . Напомним, что .
7.
8. .
Таким образом, таблицу дифференцирования сложных функций, на данном этапе, закончим. Дальше, конечно, она будет еще больше обобщаться, а сейчас перейдем к конкретным задачам на производную.
В практике подготовки к ЕГЭ предлагаются следующие задачи.
Найти минимум функции .
ОДЗ: .
Найдем производную . Напомним, что , .
Приравняем производную к нулю . Точка - входит в ОДЗ.
Найдем интервалы знакопостоянства производной (интервалы монотонности функции) (см. рис.1).
Рис. 1. Интервалы монотонности для функции .
Рассмотрим точку и выясним, является ли она точкой экстремума. Достаточный признак экстремума заключается в том, чтобы производная при переходе через точку меняет знак. В данном случае производная меняет знак, значит, - точка экстремума. Так как производная меняет знак с «-» на «+», то - точка минимума. Найдем значение функции в точке минимума: . Нарисуем схему (см. рис.2).
Рис.2. Экстремум функции .
На промежутке - функция убывает, на - функция возрастает, точка экстремума единственная. Наименьшее значение функция принимает только в точке .
На уроке рассмотрели дифференцирование сложных функций, составили таблицу и рассмотрели правила дифференцирования сложной функции, привели пример применения производной из практики подготовки к ЕГЭ.
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
2. Портал Естественных Наук ().
Сделай дома
№№ 42.2, 42.3 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.)
Похожие статьи